Jakaantumisfunktio

Jakaantumisfunktio, usein merkitty F_X(x), on tilastotieteessä käytetty funktio, joka määritellään satunnaismuuttujalle X seuraavasti: F_X(x) = P(X ≤ x). Se kertoo todennäköisyyden, että X saa arvon enintään x.

Ominaisuudet: Jakaantumisfunktio on ei-vakaa nouseva (ei‑välilaskua laskeva) funktio, oikeakätisesti jatkuva sekä rajoitukset F_X(x) ∈ [0,1]. Pitkillä miinus- ja plus äärellisillä arvoilla se lähestyy 0 ja 1: lim_{x→-∞} F_X(x) = 0 ja lim_{x→+∞} F_X(x) = 1. Prosenttien muodossa F_X antaa mahdollisuuden laskea todennäköisyyksiä P(a < X ≤ b) = F_X(b) − F_X(a).

Yhteys tiheyteen ja jakaumaan: Jos X:llä on tiheys f_X (tiheys voidaan olla,aakkostettu käsitteenä), F_X(x) = ∫_{-∞}^x f_X(t) dt. Diskreetillä jakaumalla F_X on askellusfunktio, ja sen lohkeamat pisteissä x_k vastaavat P(X = x_k). Tiheän jakauman tapauksessa f_X = F_X', ja F_X on jatkuva.

Esimerkkejä: Normaalijakaumalle F_X on Gaussin CDF, jota merkitään usein Φ, ja sitä ei ole suljettu muodossa; yleinen esimerkki on Uniform(a,b), jossa F(x) on 0, kun x < a; (x−a)/(b−a), kun a ≤ x ≤ b; ja 1, kun x > b. Eksponentiaalijakaumalla F(x) = 1 − e^{−λx} (x ≥ 0).

Käyttö ja lisähuomiot: Jakaantumisfunktio määrittelee koko jakauman ja siitä voidaan periaatteessa purkaa kaikki todennäköisyydet. Kvantilifunktio F^{-1}(p) = inf{x : F(x) ≥ p} antaa hypertilastollisen kvantin. Empiirinen jakaantumisfunktio F_n(x) = (1/n) ∑ I{X_i ≤ x} lähestyy todellista F_X(x) suurissa otoksissa. Monimutkaisemmissa tilanteissa voidaan tarkastella yhteisjakaantumismuuttujia F_{X,Y}(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y).