Isolationsfunktion

Isolationsfunktion bezeichnet in der Mathematik eine Funktion, die dazu dient, in einer Gleichung eine Variable zu isolieren und auszudrücken, wie sie in Abhängigkeit von den übrigen Variablen steht. Sie fasst das Verfahren zusammen, eine Gleichung so umzuformen, dass eine bestimmte Variable x explizit als Funktion der anderen Variablen y1,...,yn erscheint.

Formal gesehen: Gegeben eine Gleichung F(x, y) = 0. Eine Isolationsfunktion x = G(y) ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt, d. h. F(G(y), y) = 0 für alle y im Definitionsbereich. Ihre Existenz ist nicht garantiert; sie kann mehrdeutig sein oder global nicht existieren.

Beziehung zur impliziten Funktion: Der Satz über die implizite Funktion liefert Voraussetzungen, unter denen lokal um eine Stelle herum eine Isolationsfunktion existiert, z. B. wenn F differenzierbar ist und die partielle Ableitung ∂F/∂x an dieser Stelle ungleich Null ist. Dann lässt sich x als Funktion von y in einer Umgebung eindeutig bestimmen.

Beispiele: Bei linearer Gleichung ax + b = 0 ist x = -b/a eine Isolationsfunktion von y (hier y = b). Bei F(x,y) = x^2 + y = 0 erhält man x = ±√(-y); hier ist die Isolationsfunktion abhängig vom gewählten Zweig der Wurzel. Bei F(x,y) = x^3 - y = 0 ergibt sich x = ∛y, eine eindeutig definierte Isolationsfunktion im reellen Bereich.

Anwendungen: In der Symbolischen Algebra, Modellierung, Analyse von Gleichungssystemen und in der Numerik dient eine Isolationsfunktion zum Lösen von Variablen und zur Untersuchung von Abhängigkeiten zwischen Parametern.