Interpoloinnin

Interpolointi tarkoittaa tuntemattomien arvojen estimointia tunnetun pistejoukon perusteella. Tavallinen asetelma on pisteparit (x1, y1), ..., (xn, yn), ja tavoitteena saada arvo f(x) jollekin x:n välille. Interpolointi eroaa ekstrapoloinnista, jossa arvoja arvioidaan pisteiden ulkopuolelle. Metodit perustuvat olettamukseen, että pisteiden välillä esiintyy rauhallinen, säännönmukainen kehitys.

Keskeisiä interpolointimenetelmiä ovat polynominen interpolointi, splinien interpolointi sekä radiaalipohjainen interpolointi. Polynominen interpolointi hakee polynomin, joka kulkee kaikkien annettujen pisteiden kautta. Lagrangen sekä Newtonin muodot ovat yleisiä tapoja rakentaa tällainen polynomi; Newtonin muoto soveltuu erityisesti päivityksiin, kun uusia pisteitä lisätään. Splinit muodostavat peräkkäisiä polynomin kappaleita, jotka liitetään yhteen siten, että kokonaisfunktio on jatkuva ja usein myös derivoituva. Kubiset splinet ovat yleisimpiä kubisontien interpoloinnissa.

Monipuolisia sovelluksia ovat datan täydennys ja suodatus, tietokonegrafiikka, signaalin käsittely sekä tilastotiede ja kartoitus. Esimerkkejä ovat puuttuvien arvojen arviot ajan sarjoissa, kuvien skaalaus sekä maantieteellisten mittausten täydennykset. Oikean menetelmän valinta riippuu datan ominaisuuksista ja halutusta käyttäytymisestä.

Rajoituksia ja haasteita ovat Runge-ilmiö (korkea-aste polynomien harha), sekä mahdollinen epätarkkuus, jos data on epälineaarista tai epätasaista. Splinit voivat aiheuttaa pienimuotoista ontumista, jos kappaleiden rajat eivät kata dataa riittävän hyvin. Siksi menetelmä valitaan huolellisesti ottaen huomioon välimatkat ja datan rakenne.

Historia: interpolointi kehittyi 1600–1700-luvulla, kun Newton ja Lagrange esittelivät varhaiset polynomimuodot. 20. vuosisadalla splinien kehitys lisäsi interpoloinnin voimaa ja joustavuutta.