Interpolationsfunktionen

Interpolationsfunktionen bezeichnen Familien von Funktionen, die aus einer endlichen Menge von Datenpunkten eine glatte Funktion konstruieren, die durch diese Punkte verläuft. Gegeben seien n+1 Punkte x_i mit zugehörigen Funktionswerten y_i, dann sucht man eine Interpolationsfunktion I, die I(x_i) = y_i für alle i erfüllt. Ziel ist eine bestmögliche Schätzung der unbekannten Funktion zwischen den bekannten Stützstellen.

Zu den häufigsten Typen gehören lineare Interpolation, polynomische Interpolation (z. B. Lagrange- oder Newton-Form) und Spline-Interpolation. Die lineare Interpolation verwendet stufenweise lineare Abschnitte. Die polynomische Interpolation sucht ein Polynom Grad ≤ n, das durch alle Punkte geht. Splines verwenden banausweise Polynome, meist kubische, die stückweise definiert sind und an Verknüpfungspunkten Glattheit bis zu bestimmten Ordnungen (z. B. C1, C2) gewährleisten. Mehrdimensionale Interpolation erweitert das Konzept auf Funktionen von mehreren Variablen.

Wichtige Eigenschaften umfassen Existenz und Eindeutigkeit: Für n+1 Stützstellen existiert und ist das Interpolationspolynom vom Grad ≤ n eindeutig. Bei Splines gibt es oft eine eindeutige kubische Spline-Funktion unter gegebenen Randbedingungen. Interpolationsfunktionen liefern oft gute Annäherungen in der Nähe der Stützstellen, können aber bei hoher Ordnung zu Oszillationen (Runge-Phänomen) führen; Splines mildern dies.

Anwendungen finden sich in der Datenrekonstruktion, numerischen Analysen, Datenvisualisierung, Geostatistik, CAD und Simulationen, wo Funktionswerte an diskreten Punkten bekannt sind und eine glatte Fortsetzung benötigt wird.