Integraaleilla

Integraali on matematiikan käsite, joka kuvaa kertymää ja määrien yhteismäärää. Sillä voidaan laskea pinta-aloja, tilavuuksia sekä yleisesti jokin funktion yli mittaama kokonaiskertymä. Sen kaksi päämuotoa ovat määrittelemätön integraali, joka on antiderivaatio F siten että F'(x)=f(x), sekä määritelty integraali ∫_a^b f(x) dx, joka antaa kokonaiskertymän välillä [a,b]. Määritelty integraali liittyy antiderivaatioon peruslauseen kautta: Jos F'(x)=f(x), niin ∫_a^b f(x) dx = F(b)−F(a). Notaatio käyttää symbolia ∫ sekä dx, ja rajat voivat olla mukana tai jätetty määrittelemättä.

Historian osalta integraalit kehittyivät 1600-luvulla Isaac Newtonin ja Gottfried Wilhelm Leibnizin töiden ansiosta. Myöhemmin kehittyivät tarkemmat määritelmät, kuten Riemannin ja Lebesguen integraalit, ja laajentuneet teoriat, jotka mahdollistavat ei-odotettujen funktioiden integraation sekä analyysin laajemmissa mittakaavoissa.

Integraalien laskussa käytetään sekä analyyttisiä että numeerisia menetelmiä. Analyyttisiä tekniikoita ovat muun muassa substituutio, osien integrointi (integrointi osien mukaan), jäsennys ja osittaisten murtolukujen menetelmä. Kun alkuaineiden tai funktion määritelmä ei salli analyyttistä ratkaisua, käytetään numeerisia menetelmiä kuten trapetsisääntöä tai Simpsonin sääntöä sekä yleisempiä quadrature-tekniikoita. Laajemmassa teoriassa integroidaan myös Lebesgue-integraaleja sekä käsite, kuten epäjatkuvat tai epäsäännölliset funktiot.

Suomen kielessä integraali tarkoittaa tieteellisesti samaa kuin englannin integral. Sana integraali taipuu monikossa, ja adjessiivinen monikko "integraaleilla" tarkoittaa esimerkiksi useita integraaleja tai sitä, että jokin liittyy integraaleihin. Esimerkki: "Integraaleilla voidaan laskea pinta-aloja ja tilavuuksia." Katso myös integraali, antiderivaatio, Riemann-integraali.