quadraturetekniikoita

Quadraturetekniikat, eli kvadratuuritekniikat, ovat numeerisen integraation menetelmiä, joiden avulla lasketaan funktion määrittelemän alueen alle jäävän kokonaisarvon likiarvo. Ne ovat tärkeitä, kun integraali ei ole sulkeutunut tai sen tarkka analysointi on käytännössä mahdotonta.

Yleisimmät yksidimensionaaliset kvadratuuritekniikat jaetaan Newton-Cotes -kaavoihin ja Gaussin kvadratuurisiin menetelmiin. Newton-Cotes -kaavoissa integraali rakennetaan funktion arvojen avulla pistepisteissä; suljetut kaavat käyttävät pisteitä pääasiassa alueen reunoilla (esimerkiksi trapezium- ja Simpsonin säännöt), avoimilla kaavoilla pisteet ovat sisäpuolella. Gaussin kvadratuurit valitsevat sekä pisteet että painokertoimet siten, että tarkan tuloksen saa polynomien asteeseen 2n−1 mennessä; yleisiä ovat Gauss-Legendre-, Gauss-Chebyshev- ja Clenshaw-Curtis -versiot. Adaptiiviset kvadratuurit säätävät pistemäärän käyrän mukaisesti, mikä parantaa tehokkuutta epätasaisissa tai lähellä singulariteetteja sijaitsevissa ongelmissa. Romberg-integraatio kehittää perusmenetelmän tulosta eksponentiaalinnousuin extrapoloinnilla.

Monidimensionaalisessa integraatiossa käytetään usein product-formulaatteja sekä sparse-grid (Smolyak) -menetelmiä. Monte Carlo -kvadratuurit ja quasi-Monte Carlo -menetelmät tarjoavat skalautuvuuden korkeille ulottuvuuksille, missä deterministiset menetelmät käyvät kalliiksi. Kvadratuuritekniikoiden valinta riippuu ongelman dimensiosta, alueen rajoista ja halutusta tarkkuudesta. Niitä sovelletaan laajasti fysiikassa, tekniikassa, tilastotieteessä ja taloustieteessä.

---