Integraaleihin

Integraaleihin viitataan matematiikan analyysissä käytettyihin käsitteisiin, jotka kuvaavat summaamista jatkuvassa mielessä. Perusmuotoja ovat määrätyt integraalit, jotka antavat funktion ja välin perusteella lukuarvon (esimerkiksi pinta-ala käyrän alla), ja määräytymättömät integraalit eli primitiivifunktiot, jotka ovat funktioita, joiden derivaatta on annettu funktio.

Integraalien teoria perustuu differentiaalilaskennan ja summauksien väliseen yhteyteen, jonka keskeinen tulos on Newtonin ja Leibnizin kehittämä integraali- ja derivaatio-opin peruslause: määrätyn integraalin arvo saadaan primitiivifunktion avulla. Perusmenetelmiä integraalilaskennassa ovat muuttujanvaihto (substituutio) ja osittaisintegrointi, sekä rationaalifunktioiden osittaisfaktorointi ja trigonometristen korvausten käyttö.

Sovelluksia esiintyy laajasti fysiikassa, insinööritieteissä ja taloustieteissä: integraaleja käytetään pinta-alojen, tilavuuksien, työn, massan ja todennäköisyysjakaumien odotusarvojen laskemiseen. Laajennuksia ovat moninkertaiset integraalit (kaksin- ja kolmiulotteiset), käyriin ja pintoihin liittyvät lineaari- ja pintaintegraalit sekä mittateoreettisesti määritelty Lebesguen integraali, joka mahdollistaa laajemman funktionluokan integroinnin.

Historiaan ja perustaan liittyy kehitys Newtonin ja Leibnizin aikakaudelta kohti nykyaikaista, aksioomaattista analyysiä, joka yhdistää integraalit differentiaalilaskentaan, mittateoriaan ja funktionaaliseen analyysiin.