Iloczynach

Iloczynach to forma liczby mnogiej od iloczyn w języku polskim, używana w kontekstach matematycznych do opisania różnych rodzajów operacji mnożenia. W praktyce mówi się o iloczynach arytmetycznych, iloczynach skalarnych i iloczynach wektorowych. Każdy z nich prowadzi do wyniku będącego produktem, lecz charakter operacji i zastosowania różnią się w zależności od kontekstu.

Iloczyn arytmetyczny to najprostszy rodzaj iloczynu. Dla dwóch liczb a i b ich iloczynem jest liczba ab. Własności obejmują przemienność (ab = ba), identyczność z zerem (a·0 = 0) oraz dystrybucyjność nad dodawaniem (a(b+c) = ab + ac). Na przykład 3 × 4 = 12. Iloczyn arytmetyczny działa również dla liczb całkowitych, rzeczywistych i zespolonych, z zachowaniem podstawowych reguł algebry.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów u i v w n-wymiarowej przestrzeni R^n to suma iloczynów odpowiednich współrzędnych: u·v = u1v1 + u2v2 + … + unvn. Własności iloczynu skalarnego obejmują przemienność (u·v = v·u) oraz biliniarność. W praktyce służy m.in. do obliczania kątów między wektorami, projekcji jednego wektora na drugi i miar długości.

Iloczyn wektorowy istnieje w trzech wymiarach. Dla wektorów u = (u1, u2, u3) i v = (v1, v2, v3) iloczyn wektorowy u × v zwraca wektor prostopadły do obu wejściowych. Długość tego wektora odpowiada polu paralelogramu utworzonego przez u i v, a kierunek wyznacza reguła prawej dłoni. Formuła to (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1).

Zastosowania iloczynów obejmują matematykę, fizykę, inżynierię i informatykę. W praktyce iloczyn skalarny służy do obliczania projekcji i kątów między wektorami, natomiast iloczyn wektorowy pojawia się w analizie momentów i w grafice 3D. W języku polskim frazy dotyczące tych operacji często używają formy iloczynach, na przykład w kontekście „iloczynach liczb” czy „iloczynach wektorowych”.