Identitetstransformasjon

Identitetstransformasjon er en spesifikk funksjon i matematikk som sender hvert element til seg selv. For en mengde X eller et vektorrom V er den tilsvarende kartleggingen id_X: X → X slik at id_X(x) = x for alle x i X.

Egenskaper: identitetstransformasjonen fungerer som et nøytralt element under funksjonssammensetning, fordi for enhver funksjon f: X → Y gjelder f ∘ id_X = f og id_Y ∘ f = f. Den er en bijeksjon og bevarer alle strukturer som er relevante i konteksten, for eksempel tillegg og multiplikasjon i et algebraisk system. I topologi er id_X alltid en kontinuerlig funksjon.

I lineær algebra er identitetstransformasjonen I_V på et vektorrom V definert ved I_V(v) = v; hvis dimensjonen er n, er figuren som representerer I_V identitetsmatrisen I_n. Den samme ideen finnes i alle kategorier der morphismene kan sammensettes; identitetsmorfismen id_A er det tilsvarende objektets nøytrale morfisme.

Betydning og bruk: identitetstransformasjonen fungerer som referansepunkt og baseline for å definere egenskaper og ofte som et verktøy i bevis og argumentasjon. Den illustrerer også hva det betyr at en transformasjon bevarer struktur og er “uendret” ved anvendelse.

Se også: identitet (konsept), automorfisme, morphisme i kategoriteori.