Identitetsfunksjon

Identitetsfunksjon, også kalt identitetstransformasjon, er en funksjon som kartlegger hvert element i et sett X til seg selv. Den offisielle betegnelsen er id_X: X → X, definert ved id_X(x) = x for alle x i X.

Egenskaper: Identitetsfunksjonen er en bijeksjon, dvs. den er både injektiv og surjektivt. Den har inversen lik seg selv, id_X^{-1} = id_X. Den fungerer som det nøytrale elementet for sammensetning av funksjoner: for enhver funksjon f: X → Y gjelder f ∘ id_X = f og id_Y ∘ f = f.

Graf og eksempler: For sett som inneholder tallet eller for funksjoner på tall fullfører identitetsfunksjonen en graf som er linjen y = x i R² når den vurderes som en funksjon R → R. Eksempler inkluderer id_R: R → R med id_R(x) = x og i lineær algebra den identiske lineære transformasjonen I: V → V på et vektorrom V, representert ved identitetsmatrisen.

Bruksområder: Identitetsfunksjonen brukes som et enkelt referanse- eller kontekstfunksjon, i bevis for egenskaper ved andre funksjoner, og som det nøytrale elementet i grensesnittet for funksjonssammensetning. Den er også sentral i kategoriteori som identitetsmorfismer, og i programmering som en standard plassholder eller default-funksjon.

Variant og notasjon: id_X er definert når både domene og kodomene er X. Man kan også omtale identiteten på et delsett S ved id_S:S→S, hvor S er et sett som opprinnelig antas som underliggende domene og kodomene.