identitetsmorfismer

Identitetsmorfismer är ett grundläggande begrepp inom kategoriell teori. För varje objekt A i en kategori C finns en särskild morfisism id_A: A → A, kallad identitetsmorfism. Dessa fungerar som enhetselement för komposition: för varje morphism f: A → B gäller id_B ∘ f = f och f ∘ id_A = f. Det följer att varje objekt har exakt en identitetsmorfism, och identitetsmorfismerna uppfyller de identitetslagar som definierar en kategori tillsammans med associativiteten hos sammansättningen.

I konkreta kategorier motsvarar identitetsmorfismen den uppenbara identitetsfunktionen eller identitetshomomorfismen: i Set är id_A den identiska funktionen på mängden A; i Grp är id_G den identiska grupphomomorismen; i Top är id_X den kontinuerliga identitetsfunktionen på rummet X.

Identitetsmorfismer är alltid isomorfier, med inversen lika med sig själv. De spelar också en viktig roll i funktorer: om F är en funktor mellan kategorier bevarar den identiteterna så att F(id_A) = id_FA.

I vissa vidare generaliseringar, såsom semikategorier där identitetsmorfismer saknas, definieras inte en kategori. Identitetsmorfismerna fungerar då som de neutrala enheterna i sammansättningen.