Hyperboloidflächen

Hyperboloidflächen sind quadrische Flächen im dreidimensionalen Raum, die durch eine Gleichung zweiten Grades beschrieben werden. Die beiden klassischen Typen heißen Hyperboloid der ersten Ordnung (eine zusammenhängende Fläche) und Hyperboloid der zweiten Ordnung (zwei getrennte Flächen). Typische Normalformen sind:

Hyperboloid der ersten Ordnung: x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1.

Hyperboloid der zweiten Ordnung: z^2/c^2 - x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.

Hierbei sind a, b und c positive Parameter, die Skalierungen in den Achsenrichtungen festlegen.

Geometrische Eigenschaften: Das Hyperboloid der ersten Ordnung ist eine zusammenhängende Fläche; das Hyperboloid der zweiten Ordnung zerfällt in zwei getrennte Blätter. Beide Flächen weisen eine hyperbolische Krümmung auf. Die Flächen schneiden Ebenen parallel zur xy-Ebene in Ellipsen; beim ersten Typ wachsen diese Ellipsen mit zunehmendem |z|. Die zugehörige asymptotische Konzufigur ist der doppelte Kegel x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0. Das Hyperboloid der ersten Ordnung ist ein doppelt gerundetes (doubly ruled) Flächenobjekt: Durch jeden Punkt verlaufen zwei Geraden, die vollständig auf der Fläche liegen. Die Krümmung (Gausssche Krümmung) ist negativ an jedem Punkt.

Spezielle Parameterisierung: Für das Hyperboloid der ersten Ordnung gilt eine parametrische Darstellung x = a cosh(u) cos(v), y = b cosh(u) sin(v), z = c sinh(u) mit u ≥ 0 und v ∈ [0, 2π). Für das Hyperboloid der zweiten Ordnung lauten die Parameterformen x = a sinh(u) cos(v), y = b sinh(u) sin(v), z = c cosh(u).

Anwendungen: Hyperboloidflächen finden sich in Architektur und Technik, etwa bei stabilen Strukturlösungen und in der Formgebung von Kühltürmen. In der Computergrafik dienen sie als Modellformen und Lehrbeispiele für quadrische Flächen.