Heltregulære

Heltregulære funksjoner, også kalt helefunksjoner i norsk, er en betegnelse i kompleks analyse for funksjoner som er holomorfe over hele det komplekse planet. En funksjon f: C → C sies å være heltregulær hvis den er analytisk i hvert punkt i C, altså har en Taylor-serie rundt hvert punkt som konvergerer i hele C.

Viktige egenskaper ved heltregulære funksjoner er at de er uendelig ofte differentiable og analytiske overalt i det komplekse planet. En konsekvens av dette er at en heltregulær funksjon har uendelig stor konvergensradius for sine Taylor-serier. Dette gir kraftige resultater som Liouville-teoremet: en begrenset heltregulær funksjon er konstant. Hadamard- og Weierstrass-faktorisasjon gir innsikt i vekstegenskaper og plassering av zeros, og mye av teorien omkring hele funksjoner handler om hvordan de vokser og hvor ofte de blir null.

Eksempler på heltregulære funksjoner er den eksponentielle funksjonen e^z, samt sinus- og cosinus-funksjonene. Alle polynomer er også heltregulære. Som ikke-eksempler kan nevnes funksjoner som har poler eller grenpunkter i det komplekse planet, for eksempel 1/z og generelle rasjonalfunksjoner; disse er ikke heltregulære siden de ikke er holomorfe over hele C.

Bruksområder av heltregulære funksjoner omfatter grunnleggende resultater i kompleks analyse, vekst- og zeros-teori, samt konstruksjon av funksjoner med spesifikke egenskaper gjennom faktorisering. De utgjør et kjerneområde i teorier som Liouville, Hadamard og Weierstrass, og har betydning i både teori og anvendelser innen matematikk og fysikk.

Se også: kompleks analyse, holomorfi, Liouville-teoremet, Weierstrass-faktorisasjon, Hadamard-faktorisasjon.