Hastighetsfördelningar

Hastighetsfördelningar beskriver hur hastigheter hos en grupp objekt fördelar sig. De används för att förstå rörelser, energiflöden och flöden inom olika system, från molekylära gaser till transportnätverk. En fördelning anger sannolikheten att en hastighet ligger inom ett visst intervall och hur vanligt det är med mycket snabba eller långsamma observationer.

En central teoretisk modell är Maxwell-Boltzmann-fördelningen för hastigheter i en ideal gas i termisk jämvikt. I tre dimensioner är sannolikhetsfunktionen f(v) ∝ v^2 exp(-mv^2/2kT), där m är partikelmassan, k är Boltzmanns konstant och T är temperaturen. Den förväntade medelhastigheten är sqrt(8kT/πm). För komponenterna av hastigheten i varje riktning följer vanligtvis en gaussisk fördelning med medelvärde noll och varians kT/m, medan hastigheten i sig följer Maxwell-Boltzmann-fördelningen.

I två dimensioner uppstår ofta en Rayleigh-fördelning för hastighetsmagnituden hos isotropt slumpmässig rörelse: f(v) = (v/σ^2) exp(-v^2/(2σ^2)), där σ^2 = kT/m (för idealgasliknande tillstånd). Dessa två fall illustrerar hur dimensioner och cirkulerande vektorer påverkar formen på hastighetsfördelningen.

Praktiskt varierar hastighetsfördelningar i tillämpningar som trafik: körsträckor, vägvillkor och hastighetsbegränsningar gör att kurvor oftast blir högerskev och kan lämpa sig för lognormal-, gamma- eller avsnittade (truncerade) modeller. Metoder för uppskattning innefattar histogram, kernel-skm, samt parametisk fitting och goodness-of-fit-test.

Sammanfattningsvis används hastighetsfördelningar för att beskriva och modellera dynamiska system där hastigheter spelar en central roll, från termodynamik till transportplanering.