Haarsarja

Haarsarja on matemaattinen käsite, jolla voidaan esittää neliöintegroidut funktiot L^2[0,1]-avaruudessa Haar-aaltojen avulla. Siinä käytetään perusfunktiota, joka on vakio ( scaling function ), sekä Haar-aaltoja, jotka ovat lyhyitä, kahdelle arvolle jakautuvia, piecewise-constant -funktioita. Tietyin kertoimin f ∈ L^2[0,1] voidaan kirjoittaa Haar-järjestelmän lineaarisena yhdistelmänä. Tämä tarjoa identtisen, ortonormaalin pohjan, jonka avulla signaalit ja funktiot voidaan esittää yksinkertaisessa muodossa.

Haar-järjestelmä muodostuu scaling-funktiosta φ(t) ja Haar-aalloista ψ_{j,k}(t). Järjestelmän funktiot ovat ortonormaalit ja ne muodostavat täydellisen pohjan L^2[0,1]. Tuloksena haetaan f:n koeffisientit näiden perusfunktioiden sisäkkäisten kolmen suhteen, ja alkuperäinen funktio palautuu näiden koeffisienttien lineaarisesta summasta. Haar-sarjan etuina ovat yksinkertaisuus, nopea laskenta ja kyky localisoida sekä aikaan että frekvenssiin liittyvää tietoa, mikä tekee siitä erityisen sopivan moniresoluutioanalyysiin.

Historian osalta nimi juontaa Alfréd Haarista, joka esitteli Haarin järjestelmän 1900-luvun alussa. Haar-aallot ovat erityisen lyhyitä ja yksinkertaisia verrattuna monimutkaisempiin aaltomuotoihin, mikä on tehnyt haarsarjasta perustan monisirteisten analyysien kehittämiselle. Sitä sovelletaan laajasti signaalin ja kuvan käsittelyssä, data-pakkauksessa sekä moniresoluutioanalyysissä, ja sitä käytetään myös diskreetissä Haar-muunnoksessa (DHT) käytännön sovelluksissa. Haarsarja tarjoaa yksinkertaisen, mutta tehokkaan tavan tarkastella ja muokata aikasarjoja sekä kuvamateriaalia.