Gravitaatiopotentiaalin

Gravitaatiopotentiaali (Φ) on pisteessä oleva suure, joka kuvaa gravitaatiokentän potentiaalienergian per massayksikkö. Gravitaatiokentän kiihtyvyys g on Φ:n gradientin negatiivinen suunta, eli g = -∇Φ, ja gravitaatiovoima on F = m g = -m ∇Φ.

Potentiaalienergia U liittyy Φ:iin U = m Φ. Eri pisteissä Φ voi olla erilainen, ja potentiaalierot määrittävät työn, joka tarvitaan massan siirtämiseen kentän läpi.

Newtonisen gravitaation mukaan Φ ja massajakauma ρ ovat yhteydessä Poissonin yhtälön kautta ∇^2 Φ = 4π G ρ. Mikäli ρ = 0, Φ ratkaisee Laplace'n yhtälön ∇^2 Φ = 0.

Esimerkkinä pistemassalle M gravitaatiopotentiaali on Φ(r) = -GM/r, kun r on etäisyys massakeskuksesta ja Φ → 0, kun r → ∞. Pallomaisen, tasaisen massajakauman tapauksessa ulkona (r ≥ R) Φ(r) = -GM/r, ja sisällä (r ≤ R) Φ(r) = -GM/(2R^3) (3R^2 - r^2).

Käytännössä gravitaatiopotentiaalia käytetään energian ja kentän analysointiin: E = ½ v^2 + Φ on yksikkömääräinen kokonaisenergia, ja g = -∇Φ antaa kappaleen kiihtyvyyden. Potentiaali on hyödyllinen työkalu mekaanisessa mallintamisessa ja orbitalisissa laskelmissa.

Rajoitukset: gravitaatiopotentiaali on Newtonin kuva, joka pätee heikoissa kentissä ja hitaalla liikkeellä. Teoriassa yleinen suhteellisuuslait eivät käytä yksinkertaista potentiaalikäsitettä samalla tavalla; voimassaolon ja tarkkuuden rajoissa Φ toimii hyvässä reuna-arvona.