Gradienteihin

Gradienteihin on suomenkielinen taivutusmuoto, jota käytetään viittaamaan useisiin gradientteihin tai gradienttialueisiin. Gradientti kuvaa, miten ja missä suunnassa yksittäinen funktio f(x) muuttuu, ja gradienteihin liittyy usein useita gradientteja tai gradienttikenttiä samassa yhteydessä. Kielessä gradienteihin voi viitata sekä yksittäisten pisteiden gradientteihin että kokonaisiin gradienttialueisiin.

Matemaattisesti gradientti f: R^n → R on vektori ∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn). Gradientti osoittaa suunnan, jossa f kasvaa fastest, ja sen pituus |∇f(x)| on suurin kasvunopeus. Direktionaalinen derivaatta D_u f(x) = ∇f(x) · u kuvaa kasvua annetussa yksikkövektorin u suunnassa.

Kun tarkastellaan useita gradientteja tai gradienttialueita, kyse on gradienttien kentästä: joka pisteessä sallitut gradientit muodostavat kokonaisuuden, joka kuvataan usein yhtenä kenttänä. Gradientti on konservatiivinen kenttä: on olemassa potentiaalifunktio f siten, että kenttä vastaa ∇f, eikä sen kiertoa sinänsä tarvita syventyä yksityiskohtiin kaikissa oppilaitoksissa.

Käytännön sovelluksissa gradienteja hyödynnetään muun muassa optimoinnissa ja suunnanvalinnassa. Esimerkiksi gradienttien pudotus (gradient descent) käyttää gradientteja ohjaamaan etsimään minimiä. Gradientteja käytetään myös analysoitaessa, miten nopeasti ja missä suunnassa muuttujat vaikuttavat tavoiteltuun suureeseen.

Huomioitavaa on, että Gradienteihin ei ole omia erillisiä habíaisia objekteja vaan ne ovat viittauksia gradientteihin sekä yksittäisissä funktioissa että niiden kentissä. Lisätietoja: gradientti, gradienttien kenttä, directional derivative.