Gränsvärdet

Gränsvärdet är ett grundbegrepp inom matematik som beskriver vilket värde en funktion eller en följd närmar sig när oberoende variabeln närmar sig ett visst värde eller går mot oändligheten. För funktioner används lim_{x→a} f(x) = L, där L är gränsvärdet när x närmar sig a. För följder används lim_{n→∞} a_n = L. Notationen är internationell och används i många olika sammanhang.

Ett gränsvärde existerar om värdena f(x) närmar sig ett bestämt tal oavsett hur nära a man försöker komma (för alla tillräckligt små avstånd från a utan att nå punkten själv). Gränsvärdet, om det finns, är unikt. Värdet i punkten x = a behöver inte vara lika med gränsvärdet.

Man talar också om en-sidiga gränsvärden: lim_{x→a+} och lim_{x→a-}. Gränsvärden kan vara oändliga: lim_{x→a} f(x) = ∞ eller -∞, och gränsvärden vid oändliga argument: lim_{x→∞} f(x) = L. I praktiken används gränsvärdet ofta för att definiera derivator, integraler och kontinuitet samt för att studera hur funktioner beter sig i närheten av speciella punkter eller när x växer utan bound.

Exempel: lim_{x→3} (2x+0) = 6. lim_{x→0} sin(x)/x = 1. lim_{x→0} sin(1/x) finns inte eftersom värdena kring 0 inte närmar sig ett särskilt tal. lim_{x→∞} 1/x = 0. Detta illustrerar hur gränsvärden fångar beteenden både vid närhet till punkter och i oändlighet.