Gesamtabdeckung

Gesamtabdeckung ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere der Topologie, der eine Überdeckung einer Menge durch eine Familie von Teilmengen beschreibt. Gegeben eine Menge X und eine Familie U = {U_i | i∈I} von Teilmengen von X, heißt U eine Überdeckung von X, wenn X ⊆ ⋃_{i∈I} U_i. Gilt stattdessen X = ⋃_{i∈I} U_i, spricht man von einer Gesamtabdeckung von X. In der Praxis wird oft zwischen offenen, geschlossenen oder allgemeinen Abdeckungen unterschieden, je nachdem, welche Eigenschaften die U_i haben.

Offene und andere Abdeckungen: Eine Gesamtabdeckung kann offen sein, wenn alle U_i offen sind, oder geschlossen, wenn alle U_i geschlossen sind. Man spricht auch von endlichen oder unendlichen Überdeckungen, je nachdem wie viele Mengen U_i enthalten sind. Eine Teilmenge J ⊆ I führt zu einer Teilüberdeckung ⋃_{i∈J} U_i; eine endliche Teilüberdeckung besteht aus endlich vielen U_i und zeigt, ob eine Gesamtabdeckung kompakt ist.

Kompaktheit: Eine zentrale Eigenschaft in der Topologie ist die Kompaktheit eines Raumes X. X ist kompakt genau dann, wenn jede offene Gesamtabdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Diese Definition spielt eine fundamentale Rolle in Analysis und Geometrie und führt zu wichtigen Sätzen wie dem Heine-Borel-Satz in bestimmten Räumen.

Beispiel: Der geschlossene Intervall [0,1] kann durch die offene Gesamtabdeckung {(-0.1, 0.6), (0.4, 1.1)} abgedeckt werden; hier reicht eine endliche Teilüberdeckung aus, was die Idee der Kompaktheit veranschaulicht.

Siehe auch: Abdeckung, Überdeckung, Teilüberdeckung, offene Abdeckung, kompakter Raum.