Fältvektorerna

Fältvektorerna, eller vektorfält, är matematiska objekt som associerar varje punkt i ett givet område till en vektor i rummet. Formellt definieras ett vektorfält F på ett domän D ⊂ R^3 som en funktion F: D → R^3 med F(x) = (F1(x), F2(x), F3(x)). Vid varje x ∈ D anger F(x) riktning och storlek hos en vektorbaserad storhet; i fysik och teknik används ofta F för hastighet, kraft eller fältstyrka. I två dimensioner är D ⊂ R^2 och F(x) ∈ R^2.

Exempel inkluderar vindens hastighetsfält i ett område, magnetfältet B(x) i elektromagnetismen eller vätskeströmningars hastighetsfält. Ett vanligt sätt att skapa ett vektorfält är att ta gradienten av ett skalärt fält: om φ är ett skalärt fält så kan F = ∇φ vara ett vektorfält som pekar i riktningen av största ökning.

Regulariteten hos fältvektorerna anger hur vektorerna förändras från punkt till punkt. Vanliga krav är att F är kontinuerligt eller differentiellt i D. I tre dimensioner används ofta operationer som divergensen ∇·F och curlen ∇×F: divergensen beskriver nettoutflöde per volymenhet och curlen anger lokal rotation. Linjeintegraler längs kurvor i domänen används för att analysera flöden och potentiella samband inom fältet.

Fältvektorerna är centrala i fysik, mekanik, aerodynamik, elektromagnetism och geovetenskap. Deras studie utgör en grundläggande del av vektoranalys och multivariat kalkyl, och de ger verktyg för att beskriva hur krafter, hastigheter och andra vektorstorheter varierar i rummet.