Funksjonsflater

Funksjonsflater er to-dimensjonale flater i tredimensjonalt rom som ofte beskrives som grafen til en funksjon av to variabler: z = f(x, y). Overflaten består av alle punkter (x, y, z) med z = f(x, y) for et domene D ⊂ R^2. I tillegg kan en overflate beskrives implicit som F(x, y, z) = 0 eller parametrisk som r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Den vanligste typen er grafen til en funksjon f: D → R, der hvert (x, y) i D gir z = f(x, y). Slik overflate ligger i R^3 og kan beskrives eksplisitt som z = f(x, y). Grafflater spiller en sentral rolle i multivariat kalkulus og differensialgeometri, hvor egenskaper som differentiabilitet og bøying studeres.

Differensialitet og tangentplan: Hvis f er differentiell ved et punkt (x0, y0), har funksjonsflaten et tangentplan i p = (x0, y0, f(x0, y0)). Tangentplanet kan skrives som z − f(x0, y0) = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0). Normalvektoren til flaten i p er ∇(z − f(x, y)) = (−fx, −fy, 1).

Kurvatur og bøyning: Lokale bøyninger beskrives av andreordens partiellderivater. Gaussian curvature K og mean curvature H gir mål på hvordan flaten bøyer seg i ulike retninger og brukes i evaluering av flatenes geometriske egenskaper.

Eksempler: z = x^2 + y^2 (paraboloid), z = x^2 − y^2 (hyperbolsk paraboloid), og z = ax + by + c (plan) er kjente funksjonsflater. Ikke alle flater er av graf-type globalt, men de kan ofte beskrives implicit eller parametrisk.

Anvendelser: Funksjonsflater brukes i geovitenskap, fysikk, datagrafikk og CAD til modellering av terreng og potensfelt, til visualisering og til beregning av overflateintegraler og andre flateprosesser.