Funksjonsanalyse

Funksjonsanalyse er en gren av matematisk analyse som studerer funksjonsrom og lineære operatorer mellom dem ved hjelp av topologi og normer. Den knytter egenskaper ved funksjoner til strukturer i abstrakte rom og omfatter både klassiske funksjonsrom og mer generelle Banach- og Hilbert-rom. Viktige objekter er normerte rom (Banach-rom) og innerproduktrom (Hilbert-rom), samt rom som Lp, C(K) og andre funksjonsrom. Lineære operatorer mellom slike rom er ofte begrensede (bounded), og deres oppførsel måles med operatornormen. Dualrom og ulike topologier, slik som svak topologi og svak-til-økt topologi (weak*), er sentrale.

Noen av de grunnleggende verkene er Hahn–Banach-teoremet, teorem om åpent bilde (open mapping theorem), lukket graf-satsen og prinsippet om uniform begrensing. Riesz-representasjonssetningen gir koblingen mellom et rom og dets dual, og i Hilbert-rom forenkles dette gjennom naturlige identifikasjoner.

Spektralteori undersøker spekteret til en begrenset lineæroperator, resolventen og den spektrale radius. For selvadjoint/normal-operatører i Hilbert-rom gjelder spesielle resultater som spektral teorem og funksjonell kalkulus. Videre studeres kompakte operatører, Fredholm-teori og egenverdier, som er sentrale i analyse og numerikk. Også begreper som Schauder-baser og andre typer baser samt interpolasjons- og tilnærmingsteorier er viktige.

Anvendelser inkluderer løsning av differensial- og integrodifferensiallikninger, kvantemekanikk, signalbehandling og numerisk analyse. Funksjonsanalyse gir verktøy for å forstå og behandle problemer innen matematikk og anvendte fagfelt, og fungerer som grunnlag for mye av moderne analyse.