Forventningsverdier

Forventningsverdi, eller forventet verdi, er et mål på sentrum i fordeling av en stokastisk variabel. Den symboliske notasjonen er E[X], der X er en tilfeldig variabel. Forventningsverdien beskriver den langsiktige gjennomsnittlige verdien man ville få om man gjentok forsøket mange ganger under de samme forholdene.

For discrete tilfeldige variabler X som tar verdiene x1, x2, ..., xk med tilhørende sannsynligheter p1, p2, ..., pk er forventningsverdien gitt ved E[X] = sum_i x_i p_i. For kontinuerlige variabler X med tetthet eller sannsynlighetsfordeling f(x) er E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx, forutsatt at integralet eksisterer og er endelig. Forventningen er en lineær operator: E[aX + b] = a E[X] + b, og for to variabler E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y].

Hvis X og Y er uavhengige, gjelder også E[XY] = E[X] E[Y]. Generelt går det ikke nødvendigvis å erstatte X med E[X] i funksjoner; for eksempel E[g(X)] kan være forskjellig fra g(E[X]), men forenklede uttrykk som E[X + c] og E[cX] følger lineariteten.

Eksempler: En rettferdig terning har X som tar verdiene 1–6 med like sannsynligheter, og E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. En Bernoulli-variabel X med P(X=1)=p og P(X=0)=1-p har E[X] = p. En uniform fordeling på [0,1] har E[X] = 1/2.

Forventningsverdien kan være begrenset eller ubegrenset avhengig av variabelen. Ifølge loven om store tall konvergerer gjennomsnittet av mange uavhengige prøver mot E[X], noe som understreker den praktiske betydningen av forventningsverdien som modellens langsiktige gjennomsnitt. Forventningsverdien skiller seg fra andre mål som median og modus og brukes blant annet i risiko- og beslutningsanalyse samt statistisk inferens.