Forventningsverdi

Forventningsverdi, også kalt matematisk forventning, er et mål på den gjennomsnittlige utfallsverdien man kan forvente når et eksperiment gjentas mange ganger. Det gir et sentralt midtpunkt rundt hvilket en tilfeldig variabel X fordeler seg over sin sannsynlighetsmodell.

For en diskret tilfeldig variabel X som tar verdiene x1, x2, ..., med sannsynligheter p1, p2, ..., er forventningsverdien definert som E[X] = sum_i x_i p_i. For en kontinuerlig variabel med tetthet f er E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx, forutsatt at integralet konverger (deler av kurven som bidrar uendelig lite er uekte).

Notasjon og egenskaper: Forventningsverdien betegnes ofte E[X] eller μ_X. Den er linear: E[aX + b] = a E[X] + b. For funksjoner: E[g(X)] = sum_i g(x_i) p_i i det diskrerte tilfellet, eller E[g(X)] = ∫ g(x) f(x) dx i det kontinuerlige tilfellet. Hvis X og Y er uavhengige, gjelder E[XY] = E[X] E[Y].

Eksempler: En rettferdig terning gir E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. En Bernoulli-variabel som gir 1 med sannsynlighet p og 0 ellers har E[X] = p. En variabel uniform på [0,1] har E[X] = 1/2.

Forventningsverdi er tett knyttet til loven om store tall og til estimering gjennom utvalg; prøvedata vil under gjentatte forsøk typisk konvergere mot E[X] når utvalgsstørrelsen blir stor. Eksistensen av E[X] krever at E[|X|] er endelig.