Flödesfunktion

Flödesfunktion är ett begrepp som används inom matematik och fysik för att beskriva hur tillståndet i ett dynamiskt system utvecklas över tid. Den avser i allmänhet en familj av kartor som kallas flödet och som beskriver hur varje startpunkt förflyttar sig under påverkan av ett givet vektorfält. I specialfall kallas den ibland flödesmap eller flödesfunktion, särskilt när man betonar tidsparametern.

Formellt övergår detta till ett differentialekvationssystem. Låt F: U → R^n vara ett slätt vektorfält på ett öppet område U i R^n. Flödet φ: R × U → U uppfyller för varje x i U differentialekvationerna d/dt φ(t, x) = F(φ(t, x)) och initialvillkoret φ(0, x) = x. Mannen vid t kallas tiden och kartan φ_t(x) = φ(t, x) är flödet vid tid t. Om flödet är definierat för alla t kallas F komplett.

Viktiga egenskaper är att φ_0 är identiteten och att φ_{t+s} = φ_t ∘ φ_s när lösningarna existerar. För ett komplett F är varje φ_t en diffeomorfism. Flödet beskriver både Lagrange-synvinkeln (hur olika punkter rör sig i rummet) och kan användas för att studera stabilitet och fasportret.

Exempel: För linjärt system dx/dt = A x ges flödet av φ_t(x) = exp(tA) x. För tvådimensionell rotation i plan ges φ_t(x) = R_t x, där R_t är en rotationsmatris.

Användningar innefattar analys av dynamiska system, stabilitet, kontrollteori och fluidmekanikens flödeskartor. Se även: vektorfält, differentialekvation, flödesmapp, integralkurva.