Flächennormalen

Flächennormalen sind Vektoren, die an einem Punkt einer Fläche senkrecht (normal) zur Fläche stehen. Sie geben die Orientierung der Fläche an und sind nicht eindeutig; es gibt immer zwei Gegenrichtungen. Üblicherweise wird eine Flächennormale als Einheitsnormale n̂ verwendet.

Für eine differenzierbare Fläche S ⊂ R^3 mit einer Parametrisierung x = r(u,v) ergibt sich das Flächennormalenvektor n = ∂r/∂u × ∂r/∂v. Die Richtung von n hängt von der Wahl der Orientierung der Parametrisierung ab. Die Einheitsnormale ist n̂ = n/|n|. Falls ru × rv = 0, ist die Fläche an dieser Stelle nicht regulär (z. B. Krümmungspunkte oder Kanten).

Bei einer impliziten Fläche F(x,y,z) = 0 liegt das Flächennormalenvektor rechtwinklig zur Fläche in jedem Punkt in Richtung des Gradienten ∇F(x,y,z). Auch hier kann die Richtung durch Orientierung festgelegt werden und der Einheitsnormale ist ∇F/|∇F|.

Anwendungen unterscheiden sich je nach Kontext: In der Differentialgeometrie und in der Flächenfluxrechnung dienen Flächennormalen zum Berechnen von Integralen über Flächen; in der Computergrafik sind Normale essenziell für Beleuchtung, Shading und Normal Mapping. Sie spielen auch eine zentrale Rolle in der Gauss-Abbildung und in der Beschreibung von Oberflächenkrümmungen.

Beispiel: Für die Kugel x^2+y^2+z^2 = R^2 ist F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 - R^2. Dann ist ∇F = (2x,2y,2z) ein Normalenvektor, und das Einheitsnormale n̂ = (x,y,z)/R zeigt nach außen.