Faktorerbarheten

Faktorerbarheten (faktorerbarhet) är ett begrepp inom matematik som beskriver om ett objekt kan skrivas som en produkt av förenklare faktorer i en given koefficient- eller mängdrum. Oftast syftar man på polynom eller tal, men begreppet används generellt i algebraiska sammanhang.

I polynomnotation används termen ofta i samband med begreppen reducibel och irredubibel. Ett polynom över ett kroppsfält F, skrivs som f i F[x], är reducibelt om det kan delas som f = gh med båda faktorerna g och h av positiv grad, dvs. g och h är icke-enhets-polynom. Om sådant faktorering inte finns kallas f irreducibelt över F. Notera att vad som räknas som faktorer beror på vilket koefficientområde man tillåter; ett polynom kan vara irreducibelt över ett fält men reducibelt över ett större fält.

Exempel: över de rationella talen Q är x^2 − 1 reducibelt eftersom det faktoreras som (x − 1)(x + 1). x^2 − 2 är irreducibelt över Q eftersom det inte har några rationella rötter. Över de reella talen R däremot faktoreras x^2 − 2 som (x − √2)(x + √2).

Utanför polynom finns även faktorisering av heltal, där ett heltal n är faktorerbart om det kan skrivas som n = ab med 1 < a, b < n. Begreppet är centralt i talteori och i algebraiska strukturer som räkne- och polynomringar. I rika som inte är unikt faktoriserbara (inte en UFD) kan irreducibla element inte nödvändigtvis vara primära, vilket leder till olika typer av faktoriseringsegenskaper.

Betydelse: faktorerbarhet är grunden för faktorisationsalgoritmer, lösning av polynomiska ekvationer och förståelse av struktur och egenskaper hos algebraiska system.