Etäisyystemmat

Etäisyystemmat ovat matemaattisia rakenteita, jotka määrittävät etäisyyden kahden kohteen välillä. Ne ovat funktioita d: X × X → [0, ∞), jotka mittaavat erillisyydestä tai erilaistumisesta syntyvää „etäisyyttä” kohteiden välillä. Etäisyystemman avulla voidaan tarkastella, kuinka läheiset tai kaukana toisistaan kaksi kohdetta ovat, ja ne muodostavat usein pohjan tilojen analysoinnille ja tilan topologialle.

Perusmetri (klassinen etäisyys) noudattaa neljää ominaisuutta: ei-negatiivisuus (d(x,y) ≥ 0), identiteetin identiteetti (d(x,y) = 0 vain kun x = y), symmetria (d(x,y) = d(y,x)) ja kolmiomainen epäyhtälö (d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)). Näitä ominaisuuksia kutsutaan metrin axiomiksi. Jos jokin näistä poikkeaa, kyseessä voi olla pseudometrinen, quasi-metrinen tai muu epämääräisempi etäisyysfunktio. Metri muodostuu usein kun on kyse muuttujien vektoriavaruudesta ja etäisyys mitataan normin avulla.

Tunnetuimpia esimerkkejä etäisyystemmeistä ovat Euclidinen etäisyys (L2), Manhattan- eli taxicab-etäisyys (L1), sekä maximum- eli L∞-etäisyys. Minkowskinen etäisyys (Lp) laajentaa nämä yhdistämällä p:n parametrin. Diskreetissä tapauksissa Hamming-etäisyys mittaa eroja kahden samanpituisen merkkijonon symboleissa, ja Levenshtein-etäisyys mittaa parin muuntamisen minimitoimien määrää (sisäykset, poistot, korvaukset). Joissain sovelluksissa käytetään myös vektorietäisyyksiä, kuten kosinietäisyyttä, joka perustuu kulmaan tuntemattomien vektorien välillä.

Sovellukset kattavat klusteroinnin, nearest-neighbor -haun, tietojen hakemisen, tilastollisen analyysin ja GIS:n kaltaiset alueenet sekä puhe- ja kuvankäsittelyn. Etäisyystemmät tarjoavat perustan sekä teoreettiselle analysoinnille että käytännön algoritmeille, joissa mitataan ja vertaillaan kohteita.