Erityspisteet

Erityspisteet ovat yleiskäsite, jota käytetään kuvaamaan pisteitä, joissa jokin kohteen ominaisuus on poikkeuksellisen merkittävä, kiinnostava tai muuttuu erityisesti. Termiä hyödynnetään useilla matematiikan aloilla sekä sen sovelluksissa, ja sen tarkka merkitys voi vaihdella kontekstin mukaan.

Yleisiä luokkia ovat kriittiset pisteet, singulariset pisteet, reuna- tai rajoituspisteet sekä kiinteät tai pysyvät pisteet. Kriittinen piste määritellään usein siten, että kohteen tai funktion derivaatta tai gradientti on nolla (tai määrittämätön), minkä vuoksi kyseisessä pisteessä esiintyy tavallisesti maksimi, minimi tai muu merkittävä muutos. Singularinen piste on piste, jossa jokin kuvaus ei ole regulaari; esimerkiksi käyrän tai pinnan kohdassa tangentti ei ole määritelty tai gradientti on nolla. Reuna- tai raja-pisteet ovat pisteitä, jotka kuuluvat suljetun joukon reunaan. Pysyvät tai kiinnittyneet pisteet ovat pisteitä, jotka täyttävät jonkin transformaation tai dynamiikan ehdon, kuten f(x) = x dynamiikassa.

Esimerkkejä esiintyy monissa yhteyksissä: derivoituvan funktion kriittinen piste voi osoittaa vaihtumais- tai piirtovaiheen; algebraisen ympyrän tai käyrän singularinen piste voi merkitä kohtaa, jossa käsillä olevan kuvauksen geometriakuvaukset epäonnistuvat. Dynaamisissa järjestelmissä kiinteä piste on tilanne, jossa tila pysyy muuttumattomana.

Käyttöalueet ovat matematiikan ohella geometriassa, algebra- ja rokka-geometriassa, topologiassa sekä differentiaali- ja dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa. Terminologia ei ole täysin vakiintunutta: erityspisteet voivat viitata eri ilmiöihin kontekstin mukaan.