Erikoisfunktioiden

Erikoisfunktioiden käsite kattaa laajan joukon matemaattisia funktioita, joilla on vakiintuneet nimet ja ominaisuudet. Näitä funktioita esiintyy usein ratkaistaessa differentiaali- ja integroitavia tehtäviä sekä eräissä algebraattisissa ja geometrisissa rakenteissa. Toisin kuin monet peruslaskun funktiot, erikoisfunktiot eivät yleensä kuulu elementaariseen laskuun, vaan ne ovat kehittyneempiä työkaluja analyysiin.

Esimerkkejä erikoisfunktioista ovat gamma- ja beta-funktiot, Besselin funktiot sekä Legendre-, Hermite- ja Laguerre-polynomit. Lisäksi hypergeometriset funktiot antavat yleisen kehikon monien muiden funktioiden määrittelylle, ja elliptiset integraalit sekä zeta- ja polylogaritmifunktiot ovat tärkeitä erityisesti analyysissä ja lukuteoriassa.

Ominaisuuksia ovat muun muassa seuraavat: ne voivat esiintyä ratkaisuna erilaisiin differentiaali- tai integraalilausekkeisiin, niillä on sarja- ja integraaliesityksiä sekä rekursiivisia suhteita, ja monet niistä ovat ortogonaalisia tai kuuluvat polynomijoukkoihin, mikä helpottaa analyysiä ja numeerista laskentaa.

Sovelluksia: Erikoisfunktioita käytetään laajasti fysiikassa (esim. kvanttimekaniikassa ja aaltoilussa), insinööritieteissä (signaalinkäsittely), tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa sekä matematiikassa erilaisten ongelmien ratkaisumekanismeina. Ne ovat keskeisiä paitsi teoreettisessa analyysissä myös numeerisessa laskennassa, jossa erikoisfunktioiden arvojen tehokas arviointi on tärkeää.