Enhetsvektorn

Enhetsvektorn är en vektor med längd lika med 1 som anger riktningen i ett rum. Den används för att beskriva riktningar utan att ange någon storlek. I n-dimensionell rymd representeras en vektor ofta genom dess riktning och längd separerat, och enhetsvektorn er hämta i riktningen av en given vektor v genom v̂ = v / ||v|| om v ≠ 0, där ||v|| är den Euclidska normen.

I två- och tredimensionell rymd finns standardenhetsvektorerna e1, e2 och i tredubbel dimensione även e3, ofta skrivna som e_x, e_y och e_z. Dessa enhetsvektorer bildar normalt en ortonormal bas tillsammans med andra enhetsvektorer och används för att uttrycka vilka riktningar som är av intresse i koordinatsystemet.

Egenskaper: Enhetsvektorn har längden 1 och pekar i riktningen hos den vektor som den representerar. Den är inte unik för nollvektorn; det finns oändligt många enhetsvektorer i olika riktningar. Om två enhetsvektorer u och v används, är deras skalärprodukt u · v lika med cos θ där θ är vinkeln mellan dem, vilket förenklar analys av vinklar och projectioner. För en uppsättning enhetsvektorer som är ortonormal gäller vektordekonstruktion v = ∑ (v · e_i) e_i, där varje projektionskoefficient v · e_i ger den kära komponenten längs e_i.

Användning: Enhetsvektorer används för att beskriva riktningar, förenkla beräkningar av projektioner och vinklar, samt för att definiera ortonormala baser i geometriska och fysikaliska sammanhang. Exempel i R^3: e_x = (1,0,0), e_y = (0,1,0), e_z = (0,0,1). Om v = (3,4,0) är v̂ = (3/5, 4/5, 0).