Enhetssteget

Enhetssteget, ofte kalt Heaviside-funksjonen, er en grunnleggende funksjon i matematikk og signalbehandling. Den brukes til å modellere at en kilde eller effekt blir aktivert på et bestemt tidspunkt. I kontinuerlig tid uttrykkes den vanligvis som en funksjon av t, og i disipert tid som en funksjon av n.

Formell definisjon og notasjon

Kontinuerlig tid: enhetssteget U(t) er lik 0 for t < 0 og lik 1 for t ≥ 0. Noen tekster bruker en annen konvensjon for verdien ved t = 0, for eksempel U(0) = 1/2 i visse analyser. Dispertifisert kan også utnyttes som u(t) i stedet for U(t). Diskret tid: u[n] er lik 0 for n < 0 og 1 for n ≥ 0.

Egenskaper og transformasjoner

Enhetssteget er deriverbar i distribusjonsteorien: d/dt U(t) = δ(t), hvor δ er delta-funksjonen. Konvolusjon med et annet signal f gir systemets respons: (U * f)(t) = ∫_0^t f(τ) dτ. Laplace-transformasjonen er L{U(t)} = 1/s for Re(s) > 0, og L{U(t−a)} = e^(-as)/s. Fourier-transformasjonen er i prinsipiell form ∼ π δ(ω) + 1/(jω). I disipert tid har enhetssteget Z-transformen Z{u[n]} = z/(z−1) for |z| > 1.

Anvendelser

Enhetssteget brukes til å modellere at en kilde aktiveres ved et tidspunkt, og til å finne systemresponser ved å konvolvere en enhetssteget med systemets impulssvar. Det brukes også til å brekke opp konstanter og uttrykk i stykkevis definerte signaler, samt til å knytte forhold mellom enhet og ramp- eller delta-funksjoner i kontinuerlig og diskré tid.