Enhetsdet

Enhetsdet, kort för enhetsdeterminant, är en term som används i matematik för att beskriva en kvadratisk matris vars determinant är lika med ett: det(A) = 1. Detta innebär att transformationen som matrisen representerar bevarar volymen (eller area i två dimensioner) och, i fallet med reella matriser, ofta bevarar orienteringen. Enhetsdet används särskilt när man lutar sig mot gruppstrukturer där man vill ha lokala volymbevarande spridningar.

I linjär algebra bildar de n×n-matriser över ett fält med determinant lika med ett gruppen SL(n, F), den speciella linjära gruppen. För heltalsinnehållsmatriser bildar de med determinant ett SL(n, Z), en undergrupp till GL(n, Z) bestående av unimodulära matriser. Begreppet unimodulär används ofta i samband med matriser där absolutvärdet av determinanten är lika med 1, även om vissa sammanhang gör åtskillnad mellan determinant 1 och ±1.

Exempel på enhetsdeterminanter är rotationsmatriser i två dimensioner, som har determinant 1, samt shear-matrisen [[1, t], [0, 1]] som också har determinant 1. Ett exempel med determinant -1 är spegelmatrisen diag(-1, 1), som bevarar volym men vänder orienteringen.

Användning och betydelse: enhetsdetselement är normalt volymbevarande transformationer inom geometri och fysik. I datorgrafik används enhetsdet vid koordinatsystemändringar där bevarande av area eller volym är önskvärt. Inom differentialgeometri och fysik är grupper som SL nödvändiga när man studerar volymformers bevarande och symmetrier.

Sammanfattningsvis beskriver enhetsdet en matematisk egenskap hos en matris som bevarar volym och orientering och som är central i studier av speciallinjära grupper som SL(n, F).