absolutvärdet

Absolutvärdet, betecknat med |x|, är en icke-negativ storhet som anger avståndet mellan talet x och noll. För reella tal definieras det som |x| = x om x ≥ 0 och |x| = -x om x < 0. Detta innebär att |x| ≥ 0 och att |x| = 0 endast om x = 0. För komplexa tal kallas motsvarande storhet modulus och definieras som |z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2), vilket motsvarar avståndet från z till origo i det komplexa planet.

Absolutvärdet har flera grundläggande egenskaper. För alla reella x och y gäller |xy| = |x| |y| och |x+y| ≤ |x| + |y| (triangelolikheten). Den omvända triangelolikheten ||x| - |y|| ≤ |x - y| följer också. En konsekvens är att avståndet mellan två tal a och b på tallinjen är |a - b|.

Grafiskt är funktionen x -> |x| en V-form med spetsen vid x = 0. Den är en jämn funktion, det vill säga f(x) = f(-x), och uppfyller |x| = x för x ≥ 0 och |x| = -x för x < 0.

I praktiska sammanhang används absolutvärdet för att beskriva avstånd, lösa ojämlikheter och definiera normer. I programmering återspeglar funktionen abs(), som ofta används i algoritmer och beräkningar.

Exempel: |5| = 5 och |-3| = 3. För komplexa tal z = a + bi är |z| = sqrt(a^2 + b^2); till exempel |1 + i| = sqrt(2).