Endofunktoren

Endofunktoren sind Funktoren, die eine Kategorie C auf sich selbst abbilden, das heißt F: C → C. Für alle Objekte X in C gilt F(id_X) = id_{F(X)} und für alle Morphismen f: X → Y, g: Y → Z gilt F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f). Dadurch bewahren Endofunktoren die axioma der Kategorie, während sie Objekte und Morphismen innerhalb derselben Kategorie transformieren.

Die Menge aller Endofunktoren einer gegebenen Kategorie C bildet unter der Funktionskomposition eine Monoidstruktur; das Identitätsfunktor Id_C wirkt als neutrales Element. Endofunktoren können miteinander verknüpft werden, und ihre Verkettung bleibt ein Endofunktor.

Beispiele: Der Identitätsfunktor Id_C ist ein Endofunktor. Auf der Kategorie Set der Mengen und Funktionen gibt es unter anderem den Potenzfunktor P, X ↦ P(X), der eine Funktion f: X → Y durch Bildabbildung P(f): P(X) → P(Y) abbildet. Der List-Funktor List: Set → Set bildet eine Menge X auf die Menge der Listen von Elementen aus X ab; die Abbildung auf Morphismen erfolgt durch die Anwendung von f elementweise. Ein weiterer Endofunktor ist der Produkt-Funktor mit einer festen Menge A, X ↦ X × A, auf Morphismen f: X → Y wird f × id_A abgebildet.

Zusätzliche Struktur: Wenn man neben dem Funktor natürliche Transformationen η: Id_C → F und μ: F ∘ F → F besitzt, die die Monaden-Gesetze erfüllen, erhält man eine Monade. Endofunktoren dienen in der Mathematik und Informatik als Typkonstrukte und Strukturträger, um Inhalte wie Listen oder andere Datenstrukturen abzubilden.

Bedeutung: Sie spielen eine zentrale Rolle in der abstrakten Strukturtheorie und Modellierung von Typen in Programmiersprachen, wo Endofunktoren als grundlegende Bausteine dienen.