Ekvatsioonide

Ekvatsioon on matemaatiline väide, mis väidab kahe avaldise võrdavust ja mis sisaldab üht või mitut muutujat. Ekvatsioonid kirjeldavad seoseid, piiranguid või võrdväärseid olukordi ning nende lahendused on väärtused, mis rahuldavad võrrandi tingimust. Ekvatsioonide tüüpe on erinevaid: lineaarseid, mittelineaarseid ning keerukamaid vorme, mida kasutatakse algebras, analüüsis, füüsikas ja inseneriteadustes.

Lineaarsete ekvatsioonide puhul lahendatakse süsteem, kus muutujad esitatakse lineaarsetes avaldustes: a11 x1 + a12 x2 + ... + ann xn = b1 ja nii edasi. Sellise süsteemi lahendused võivad olla määratud, määramatu või üle määratud. Lahendamiseks kasutatakse meetodeid nagu Gaussi elimineerimine, asendamine ja maatriksiteooria (Crameri reegel kehtib, kui determinant on mitte-null).

Mittelineaarsete ekvatsioonide hulka kuuluvad kvadrats- ehk ruutvõrrandid (ax^2 + bx + c = 0), kõrgemate astmete polünoomid, samuti eksponentsiaalsed ja logaritmilised ekvatsioonid ning mitme muutuja mittelineaarsed süsteemid. Neid on sageli raske lahendada analüütiliselt; lahendused leitakse faktorisatsiooni, identiteetide või numeeriliste meetodite abil (nt Newtoni meetod).

Differentialvõrrandid ehk diferentsiaalvõrrandid kirjeldavad muutujate vahelisi seoseid nende muutmise kiirustega; sageli sisaldavad nad tuletisi. Esimesed järgu diferentsiaalvõrrandid lahendatakse algtingimustega ning nende lahendused on funktsioonid, mis vastavad võrrandile ja algtingimustele. Nad on olulised füüsikas, inseneriteadustes, bioloogias ja majanduses mudeldamisel.

Kokkuvõttes ekvatsioonide uurimine hõlmab võrrandite koostamist, lahenduste omaduste mõistmist ja meetodite arendamist nende lahendamiseks; see on matemaatika keskne osa ning selle rakendused ulatuvad paljude valdkondade mudeldamiseeni.