Einsteinmodellene

Einsteinmodellene refererer til en gruppe kvantemekaniske modeller utviklet av Albert Einstein som anvender harmoniske oscillatorer for å beskrive vibrasjoner i faste stoffer. Den mest kjente er Einstein-solidet, som forklarer spesifikk varme i krystaller ved å anta at hvert atom oppfører seg som et uavhengig kvantisk harmonisk oscillator med en bestemt frekvens. Denne tilnærmingen innførte kvanteidéer i studiet av faststoffer og ga en av de første forklaringene på avvik fra Dulong–Petit-loven ved lave temperaturer.

I Einstein-solidet behandles hver av N atomer som tre uavhengige oscillatorer, totalt 3N normale modus med frekvensen ω. Energinivåene er quantiserte som E_n = (n + 1/2)ħω, og det konjugerte kanoniske partisjonsfunksjonen blir Z = Z1^{3N}, med Z1 for en enkelt oscillator. Den resulterende realeffekten på spesifikk varme er Cv = 3N kB (ħω/kB T)^2 e^{ħω/(kB T)} / (e^{ħω/(kB T)} - 1)^2. Definert Einstein-temperaturen θE = ħω/kB, og ved høye temperaturer går Cv mot 3N kB (Dulong-Petit), mens ved lave temperaturer faller Cv eksponentielt som Cv ∝ exp(-θE/T).

Begrensningene i Einsteinmodellene kommer av antagelsen om en enkelt frekvens og uavhengige oscillatorer, noe som ikke reflekterer hele spekteret av vibrasjonsmoduser i et krystall. Debye-modellen, som tar hensyn til et kontinuum av frekvenser, gir en bedre beskrivelse ved lave temperaturer og for hele temperaturspekteret, blant annet Cv ∝ T^3 i lav-T-området. Til tross for begrensningene, har Einsteinmodellene hatt stor pedagogisk betydning og bidratt til utviklingen av kvantiseringen i faststofffysikk.