Einheitselement

Einheitselement, auch Identitätselement genannt, bezeichnet in der Algebra ein Element e einer Menge S mit einem bestimmten binären Operator * auf S, das für alle a in S gilt: e * a = a und a * e = a. Es handelt sich um ein zwei­seitiges neutrales Element, das immer dann existiert, wenn die Struktur einen identitätsbildenden Operator vorsieht (z. B. in Gruppen, Monoidien, Ringen). Die Existenz eines Einheitselements ist keine Selbstverständlichkeit in beliebigen algebraischen Strukturen; manche Strukturen besitzen kein neutrales Element.

Die Identität ist eindeutig: Wenn zwei neutrale Elemente existieren, müssen sie gleich sein, da e = e * f = f gilt. In vielen Kontexten wird das Einheitselement oft mit der Bezeich­nung 0 oder 1 versehen, je nach dem zugrunde liegenden Operator (Addition bzw. Multiplikation).

Beispiele: Im Ring der ganzen Zahlen (Z, +) ist die additive Identität 0; im Ring der reellen Zahlen (R, ×) ist die multiplikative Identität 1. Die Matrixring M_n(K) hat die Einheitsmatrix I_n als Identität. In der Booleschen Algebra dient True als Identität für der Operator AND und False als Identität für OR.

Hinweise: Der Begriff Einheitselement wird oft im Sinn von Identitätselement verwendet. Der Begriff Einheit kann in der Ringtheorie auch invertierbare Elemente bezeichnen (Units), deren Multiplikativinverses existiert; das Identitätselement ist dagegen das neutrale Element der jeweiligen Operation. In Gruppen und Monoidien existiert stets ein neutrales Einheitselement; in Semigroups kann ein solches fehlen.