Eikonveksissa

Eikonveksissa on käsite, jota voidaan käyttää kuvaamaan tapausta, jossa eikonaalinen etäisyys ja konveksisuus kohtaavat tietyssä alueessa. Sana muodostuu eikonaalisen etäisyyden ja konveksisuuden käsitteistä, ja sitä käytetään pääasiassa geometrian ja optimoinnin yhteyksissä, joissa tarkastellaan fronttien etenemistä ja matkanteon kustannuksia.

Määritelmä: Olkoon Ω ⊆ R^n alue ja c: Ω → (0, ∞) nopeusfunktio, joka kertoo millä nopeudella etäisyys mitataan. Eikonaalisen etäisyyden τ_s(x) ratkaisee eikonalisen yhtälön |∇τ_s(x)| = 1/c(x) ja τ_s(s) = 0, missä s ∈ Ω on lähde. Alue voidaan sanoa eikonveksissiksi, jos jokaiselle lähteelle s ja jokaiselle t ≥ 0 jäsennellyt joukot {x ∈ Ω | τ_s(x) ≤ t} ovat konveksia. Toisin sanoen, kaikki näiden etäisyyslevyjen tasot ovat konveksia.

Ominaisuudet: Eikonveksissa-alueet rajoittavat frontin etenemistä niin, että etäisyyslevyjen tasot pysyvät konveksina. Tämä liittyy sekä eikonaaliseen teoriaan että konveksisuusanalyyseihin, ja se antaa yksinkertaisemman rakenteen etenemiselle ja suunnittelulle optimoivissa tehtävissä sekä robotiikka- ja kuvanmuokkaussovelluksissa.

Esimerkit ja rajaukset: Homogeenisessa tilassa (vakio nopeus c) konveksi Ω johtaa siihen, että τ_s:n tasot ovat palloja rajoitetussa tilassa, jolloin ne ovat konveksia. Monimutkaisemmissa nopeusvaihteluissa tai ei-konveksissa alueissa eikonveksissa-ominaisuus voi kadota; tilan konveksisuus saattaa riippua sekä lähdettä että nopeudesta.

Sovellukset: Frontin propagationin simulointi, reitityssuunnittelu, kuvankäsittelyyn liittyvät tehtävät sekä geometrian ja liiketunnistuksen tutkimukset, joissa eikonaalinen etäisyys ja konveksisuus ovat keskeisiä.

Lisätiedot: Eikonveksissa on vielä harvemmin käytetty termi; sitä käsitellään pääasiassa teoreettisissa yhteyksissä eikonaalisen yhtälön ja konveksisuusominaisuuksien yhteiskäytön yhteydessä. Lisätietoja voi etsiä eikonaalisen yhtälön ja konveksisuusanalyysin yleisteoksista.

---