Eigenvektoriavaruus

Eigenvektoriavaruus (eigenspace) A:n suhteen ominaisarvolle λ määritellään kaikista vektoreista x, jotka toteuttavat Ax = λx. Tämä joukko on sama kuin nollatilavuuden ker(A − λI), eli E_λ = {x ∈ F^n : (A − λI)x = 0}. Siitä syntyy vektoriavaruus, joka sisältää nollavektorin ja kaikki kyseisen λ:n ominaisvektorit (ei-nollavektorit kuuluvat sen lisäksi).

Geometrinen kertalukuma, eli dim(E_λ), kertoo kuinka monia lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita liittyy λ:iin. Jos λ on ominaisarvo, dim(E_λ) on 1 ja suurempi; jos λ ei ole ominaisarvo, E_λ on {0} ja dim(E_λ) = 0. Eigenspacea käytetään myös ilmaisuun siitä, miten A vaikuttaa sen vektoreihin: eri λ:ien eigenspaceja ovat erillisiä tavallaan, ja jos matriisi on diagonaalisoituva, koko tilan voidaan muodostaa suoraan näiden eigenspacejen kautta.

A:n diagonaalisoituminen liittyy eigenspaceihin: matriisi on diagonaalisoitavissa, jos ja vain jos sen ala- ja yläpuolisten ominaisarvojen eigenspacejen kogenerointi on kokonaisuudessaan koko tilan dimensio, eli summittainen geometrinen kertalukuma on n. Tällöin löytyy perusta, jonka vektorit ovat kullekin λ:ille ominaisia ja joiden avulla A on samankaltainen diagonaalimatriisille.

Esimerkki: A = [[2,0],[0,3]] antaa E_2 = span{(1,0)} ja E_3 = span{(0,1)}. Toisaalta A = [[λ,1],[0,λ]]: ominaisarvo λ:iin liittyvä eigenspace on vain span{(1,0)}, vaikka algebrallinen kertalukuma on 2.