Eigenräumen

Eigenräume (eigenspaces) bezeichnen in der linearen Algebra die Unterräume eines Vektorraums V über einem Feld F, die zu einer linearen Abbildung T: V → V gehören. Für jeden Eigenwert λ ∈ F wird der zugehörige Eigenraum E_λ definiert als E_λ = { v ∈ V | T(v) = λ v }. Äquivalent dazu gilt E_λ = Ker(T − λI). Der Eigenraum enthält neben dem Nullvektor alle Vektoren, die beim Anwenden von T mit dem Faktor λ skaliert werden.

Eigenschaften: E_λ ist ein Unterraum von V und T bildet E_λ in sich ab (T(E_λ) ⊆ E_λ). Die Dimension von E_λ heißt geometrische Vielfache von λ. Verschiedene Eigenwerte liefern unabhängige Eigenräume; ihre direkte Summe bildet im besten Fall ganz V, das heißt, T ist diagonalisierbar. Das algebraische Vielfache von λ ergibt sich aus dem charakteristischen Polynom von T; geometrische Vielfache sind immer kleiner oder gleich den algebraischen Vielfachen.

Berechnung und Beispiele: Zur Bestimmung von E_λ löst man (A − λI)x = 0, wobei A die Matrix von T ist. Beispiel: Eine Matrix A = [[2,1],[0,3]] hat die Eigenwerte λ1 = 2 und λ2 = 3. Zu λ = 2 gehört E_2 = span{(1,0)}, zu λ = 3 gehört E_3 = span{(1,1)}. Ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume kleiner als die Dimension von V, existieren keine vollständigen Eigenbasen und A ist nicht diagonalisierbar; dann beschreibt man die Struktur über die Jordansche Normalform.