Ehtotodennäköisyys

Ehtotodennäköisyys, eli conditional probability, kuvaa todennäköisyyden arvoa A, kun tiedetään, että toinen tapahtuma B on jo totta. Merkitään P(A|B). Määritelmä: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), olettaen P(B) > 0. Jos B tunnetaan varmana tapahtumana, ehtotodennäköisyys palautuu yksinkertaisesti P(A|B) = P(A).

Riippuvuus ja riippumattomuus: Jos A ja B ovat riippumattomia, P(A|B) = P(A) ja P(A ∩ B) = P(A)P(B). Muussa tapauksessa B:n toteutuminen muuttaa A:n todennäköisyyden, eli A:n todennäköisyys riippuu B:stä.

Ketjutus ja Bayesin lause: Ehtotodennäköisyyksiä voidaan yhdistellä ketjusäännöllä P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1 ∩ A2) ... P(An|A1 ∩ ... ∩ A(n-1)). Bayesin lause: P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B). P(B) voidaan laskea summamalla kaikkien mahdollisten A-tapahtumien avulla: P(B) = Σ P(B|Ai) P(Ai).

Esimerkki: Korttipakasta ilman palautusta. Mikä on todennäköisyys, että toinen kortti on kuningas, kun ensimmäinen kortti on kuningatar? Vastaus: P(toinen on kuningas | ensimmäinen on kuningatar) = 4/51, koska ensimmäisen kortin jälkeen jäljellä on 51 korttia ja neljä niistä on kuninkaallinen.

Sovellukset: ehtotodennäköisyyksiä käytetään tilastotieteessä, terveystieteissä, koneoppimisessa ja riskinarvioinnissa. Ne ovat keskeisiä päätöksenteossa epävarmuuden alla sekä diagnostisissa ja seurantatutkimuksissa.