Efterlevnadsfunktioner

Efterlevnadsfunktioner, ofta kallade survival functions, beskriver sannolikheten att en tidsindikator T överlever längre än tid t. Definieras som S(t) = P(T > t). Detta innebär att S(0) vanligtvis är 1 om alla börjar utan att uppleva eventet, och att S(t) minskar när tiden ökar och tenderar mot 0 när händelsen sannolikt inträffar längre fram.

Relationen till fördelningsfunktionen F är F(t) = P(T ≤ t) = 1 − S(t). För kontinuerliga modeller är S(t) kopplad till densiteten f via S(t) = ∫_t^∞ f(u) du. I diskreta modeller gäller samma princip med summor. Egenskapen att S är icke-increasing och rätt-till-delad gör den lämplig för att beskriva tidsområden i olika tillämpningar.

Hazardfunktionen h(t) beskriver den omedelbara risken för att händelsen inträffar vid tid t givet att den ännu inte har inträffat. Den följer h(t) = f(t)/S(t). Exponentialfördelningen har konstant hazard, vilket innebär minneslöshet i denna modell.

Estimering av S(t) sker ofta med Kaplan–Meier-estimatorn från censurerade överlevnadsdata, vilket ger en icke-parametrisk uppskattning av överlevnadskurvor. Dessa kurvor används inom biostatistik, epidemiologi, reliabilitetsteknik och försäkrings- samt pensionsberäkningar.

Användningar inkluderar beräkning av återstående medellivslivd E[T−t | T>t] och beräkning av nuvärden av framtida utbetalningar i livförsäkring och pensioner. Sammanfattningsvis ger efterlevnadsfunktioner en grundläggande beskrivning av tiden till ett utfall och fungerar som en central byggsten i överlevnadsanalys och relaterade områden.