Dérivés

Les dérivées, ou dérivées premières, constituent une notion centrale du calcul différentiel. Pour une fonction f définie sur un intervalle, la dérivée en x est f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h) - f(x)) / h, lorsque cette limite existe. Elle mesure le taux de variation instantané de f et la pente de la tangente à la courbe y = f(x) en x. Les notations dy/dx ou Df(x) sont aussi courantes.

Règles de dérivation essentielles: dérivée des constantes: (c)' = 0; des puissances: (x^n)' = n x^{n-1} (pour n ∈ N); de la somme: (u+v)' = u' + v'; du produit: (uv)' = u'v + uv'; du quotient: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2; et de la composition (règle de la chaîne): (f∘g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x).

Fonctions élémentaires: les dérivées des polynômes, des exponentielles (e^x), des logarithmes (ln x), et des fonctions trigonométriques (sin, cos) sont bien connues; par exemple (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x.

Interprétation et applications: la dérivée sert à estimer les variations et à déterminer les extrema via f'(x) = 0; la dérivée seconde permet d’évaluer la concavité et les points d’inflexion. La dérivée est aussi utilisée pour l’approximation linéaire près d’un point (tangente), et dans les méthodes numériques comme Newton. Les dérivées jouent un rôle en physique, économie et biologie pour modéliser des taux de variation.

Exemple: pour f(x) = x^3 + 2x, f'(x) = 3x^2 + 2; à x = 1, la pente de la tangente est 5.