Diszcontinuitásainak

Diszcontinuitásainak fogalma egy függvény esetében olyan pontra utal, ahol a függvény nem folytonos. Pontosabban x0 diszcontinuitás, ha a f közelítésében a bal- és/jobboldali határérték vagy a függvényérték nem egyezik. E fogalom alapján a diszcontinuitásokat típusokra bonthatjuk.

A főbb típusok közé tartozik: eltávolítható diszcontinuitás (removable), amikor a bal- és jobb határérték létezik és együttesen létezik egy érték L, de f(x0) vagy nincs értéke, vagy f(x0) ≠ L; ugrásos diszcontinuitás (jump), amikor bal- és jobb határérték finiten és nem egyenlők egymással; végtelen diszcontinuitás, ahol az egyik vagy mindkettő határérték végtelen; oszcilláló diszcontinuitás, ahol a határértékek nem léteznek az adott pontban a függvény oszcillációja miatt. A definíciókhoz kapcsolódik a bal- és jobb határérték fogalma, amelyeket x→x0− és x→x0+ formában szokás jelölni.

Példák: Egy f(x) = x, x0 = 0 esetén f nem disz kontínens, ha f(0) más értéket vesz fel a határértéktől; f(x) = 0 x<0, f(x) = 1 x≥0 példában ugrás-diszcontinuitás van a0-nál; f(x) = 1/x diszcontinuitás a0-nál végtelen; f(x) = sin(1/x) x≠0 és f(0)=0 fokozott oszcilláló diszcontinuitást mutat.

Jelentőségét tekintve a diszcontinuitások tanulmányozása alapvető a valós analízisben: a monoton függvények diszcontinuitásainak száma legfeljebb számolható, és egy függvény Riemann-integrálhatóságát gyakran a diszcontinuitások mértéke határozza meg (nulla mértékű halmaz esetén biztosítható). A diszcontinuitás elemzése nélkülözhetetlen a függvények viselkedésének megértéséhez és a későbbi differenciálható vagy összetett folyamatok vizsgálatához.