Distributjonsteori

Distributjonsteori er en gren av matematisk analyse som studerer generaliserte funksjoner kalt distribusjoner. En distributjon er en kontinuerlig lineær funksjon fra et rom av testfunksjoner til tallene, vanligvis real- eller komplekse tall. Testfunksjonene er glattfunksjoner med kompakt støtte (kalt C∞_c).

Vanlige funksjoner kan gi distribusjoner ved T_f(φ) = ∫ f(x) φ(x) dx. Men distributjoner omfatter også objekter som ikke er ordinære funksjoner, slik som Dirac-deltaen δ, som tilfredsstiller δ(φ) = φ(0).

Derivasjon av distributjoner defineres ved T'(φ) = -T(φ'), og kan gjøres repetert. Dette tillater å gi mening til deriverte av objekter som ikke er differentiable i tradisjonell forstand. Andre operasjoner inkluderer multiplikasjon med glatt funksjon og konvolusjon, under visse forhold.

Distributjonsteori skiller mellom regulære distribusjoner (fra vanlige funksjoner) og mer skjøre eller spesialdistribusjoner. Tempererte distribusjoner er en særlig viktig klasse som lar Fourier-transformen utvides til å brukes på dem.

Historisk ble distributjonsteori utviklet av Laurent Schwartz på 1940- og 1950-tallet og har siden vært et grunnleggende verktøy i løsningen av partielle differensialligninger og i moderne analyse og teoretisk fysikk, samt i signalbehandling.