Distributiviteit

Distributiviteit is een algebraïsche eigenschap waarbij een bewerking over een andere bewerking verdeeld werkt. Als + en × twee binomiale bewerkingen op een verzameling A zijn, dan zegt men dat × distributief is over + als voor alle a, b en c in A geldt: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). De omgekeerde versie geldt ook als (b + c) × a = (b × a) + (c × a). In veel algebraïsche structuren geldt distributiviteit op beide zijden; zo komen ringen, velden en modules voor.

Een eenvoudig voorbeeld uit de getalkaart is 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 14. In de polynoomrekening geldt (x + y)z = xz + yz. Distributiviteit maakt rekenregels mogelijk en is fundamenteel voor lineariteit: bij scalair vermengen van vectoren geldt bijvoorbeeld r · (u + v) = r · u + r · v in vectorruimten en modules.

Soorten en beperkingen: er bestaan algebraïsche systemen waarin slechts één kant distributief is (linkse of rechtse distributiviteit), of waarin distributiviteit helemaal niet geldt. In de logica en Booleaanse algebra gelden distributieve wetten zoals p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) en p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). In niet-distributieve lattices faalt distributiviteit. Distributiviteit is daarom een karakteristiek kenmerk bij het structureren van operaties en is essentieel voor consistente algebraïsche en logische calculaties.