Distributionsteori

Distributionsteori, även känt som "distribution theory" på engelska, är en gren inom matematisk analys som utvidgar begreppet funktioner. Traditionella funktioner kräver att man kan tilldela ett specifikt värde till varje punkt i sin definitionsmängd. Distributionsteori tillåter dock att man arbetar med "generaliseringar" av funktioner som inte nödvändigtvis är definierade punktvis på ett traditionellt sätt. Dessa generaliseringar kallas distributioner eller generaliserade funktioner.

Grundidén är att istället för att betrakta en funktion i sig, betraktar man hur den beter sig när den multipliceras med en "testfunktion" och sedan integreras. Testfunktioner är vanligtvis släta funktioner med kompakt stöd, vilket innebär att de är noll utanför ett visst begränsat intervall. En distribution definieras då som en linjär funktional på rummet av dessa testfunktioner. En linjär funktional är en avbildning som tar ett element från ett vektorrum (i detta fall, rummet av testfunktioner) och ger ett skalärt värde (ett reellt eller komplext tal).

Ett viktigt exempel på en distribution är Dirac-deltat, ofta betecknat med δ(x). Dirac-deltat är inte en funktion i vanlig mening, men den kan tolkas som en distribution som representerar en koncentrerad massa eller laddning vid en enda punkt. Inom fysik och ingenjörsvetenskap används distributionsteori flitigt för att hantera problem som involverar impulser, punktsingulariteter och andra fenomen som är svåra att beskriva med vanliga funktioner. Den möjliggör också en mer rigorös behandling av partiella differentialekvationer, särskilt när lösningarna inte är tillräckligt släta för att vara traditionella funktioner.