Distributionsfunksjonen

Distributionsfunksjonen, ofte kalt kumulativ fordelingsfunksjon (CDF), er et begrep i sannsynlighetsteori som beskriver sannsynligheten for at en tilfeldig variabel ikke overstiger et gitt tall. For en reell verdifor variabel X er distributionsfunksjonen F_X definert som F_X(x) = P(X ≤ x). Den forteller dermed hvor stor sannsynlighet som ligger på eller under et bestemt nivå.

Egenskaper og grunnleggende strukturer er sentrale. F_X er definert for alle reelle tall og er ikke synkende; den er også høy- eller rett-kontinuerlig. Grensevilkårene følger naturlig: lim x→-∞ F_X(x) = 0 og lim x→+∞ F_X(x) = 1. Avhengig av om X er diskret eller kontinuerlig, oppfører FX seg forskjellig: for en diskret variabel har den sprang ved hvert punkt og P(X = x) = F_X(x) − lim_{t↑x} F_X(t). For en kontinuerlig variabel med tetthetsfunksjon f, er F_X(x) = ∫_{−∞}^x f(t) dt og F_X′(x) = f(x) der f er differensierbar.

Bruksområder og tolkning: F_X(b) gir sannsynligheten for at X er mindre eller lik b. Sannsynligheten for intervallet (a, b] er F_X(b) − F_X(a). Invers distribusjonsfunksjon F_X^{-1}(p) gir p- kvantilen, og brukes ofte i generering av prøver fra X via en uniform[0,1]-variabel. Distribusjonsfunksjonen er i tillegg tilknyttet til tetthets- eller massefunksjon og er i prinsippet tilstrekkelig til å spesifisere hele sannsynlighetsfordelingen.

For en stokastisk vektor X = (X1, ..., Xn) kan man definere en felles distribusjonsfunksjon F_X(x1, ..., xn) = P(X1 ≤ x1, ..., Xn ≤ xn), som generelt har lignende egenskaper i flerdimensjonal kontekst.

---