Discontinuidade

Discontinuidade é a propriedade de uma função não ser contínua em pelo menos um ponto de seu domínio. Em análise real, uma função f é contínua em um ponto a se o limite de f(x) quando x tende a a é igual a f(a). A função é contínua no seu domínio quando é contínua em todos os pontos do domínio.

Podem ser classificadas as descontinuidades mais comuns: descontinuidade removível, descontinuidade por salto, descontinuidade infinita e descontinuidade oscilatória. Descontinuidade removível ocorre quando o limite lim x→a f(x) existe; se f(a) não estiver definido ou for diferente desse limite, é possível redefinir f(a) para tornar a função contínua naquele ponto. Descontinuidade por salto ocorre quando os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes entre si. Descontinuidade infinita (ou essencial) ocorre quando o limite de f(x) tende para ±∞ conforme x se aproxima de a. Descontinuidade oscilatória ocorre quando os limites não existem nem de um lado nem no total, com o comportamento de f(x) oscilando perto de a.

Exemplos comuns incluem: f(x)=0 para x<0 e f(x)=1 para x≥0 tem descontinuidade por salto em x=0; f(x)=x para x≠0 e f(0)=1 tem descontinuidade removível em x=0; f(x)=1/x tem descontinuidade infinita em x=0; f(x)=sin(1/x) para x≠0, com f(0)=0, tem descontinuidade oscilatória em x=0.

Em termos de topologia, uma função é contínua em a se, para todo conjunto aberto V contendo f(a), existe um conjunto aberto U contendo a tal que f(U) ⊆ V. A noção de descontinuidade ajuda a entender limites, integração e séries, além de ser central na análise real.